Целые числа

Двоичное представление:

\( 42 = 32 + 8 + 2 = 2^5 + 2^3 + 2^1 = 101010_2 \).

\( 49 = 32 + 16 + 1 = 2^5 + 2^4 + 2^0 = 110001_2 \).

Нумерация битов:

     ... 0 0 1 1 0 0 0 1 = 49
     ... 7 6 5 4 3 2 1 0

<- старшие разряды
     младшие разряды ->

Ячейки памяти разного размера:

8 бит:
00000000 = 0
11111111 = 255

16 бит:
0000000000000000 = 0
1111111111111111 = 65535
...

Шестнадцатеричные цифры:

0000 0         1000 8
0001 1         1001 9
0010 2         1010 a
0011 3         1011 b
0100 4         1100 c
0101 5         1101 d
0110 6         1110 e
0111 7         1111 f

Например, 42 = 0b00101010 = 0x2A. Полезно помнить некоторые степени двойки:

2**8  = 256   =   0x100
2**10 = 1024  =   0x400
2**12 = 4096  =  0x1000
2**16 = 65536 = 0x10000

Переполнение 16-битной ячейки памяти:

  0xffff  = 65535
+ 0x0001
= 0x0000

(должно было быть 0x10000, но старший бит не поместился)

Получается арифметика по модулю \( 2^N \), в данном случае — по модулю \( 2^{16} = 65536 \).

Знаковые числа

Two's complement representation (два-дополнительный код) на примере 4-разрядных (4-битных) чисел:

Старший бит — знаковый.

\(-x = \bar x + 1\) (побитовая инверсия и сложение), например, \(-0001 = \overline{0001} + 1 = 1110 + 1 = 1111\).

«Переполнение» беззнаковых чисел здесь работает вполне логично:

  0xffff  = -1
+ 0x0001
= 0x0000

Могут быть и другие, реже используемые, представления знаковых чисел, например sign-magnitude: бит знака, а в остальных битах модуль числа. (В таком представлении есть отдельно +0 и -0.)